Тональности в пространстве кратностей

Тональности в пространстве кратностей

Рис.6. Мажорная тональность в ПК.

После Второй мировой войны исследователи-этнографы с удивлением обнаружили на многих островах Тихого океана аэродромы, радиорубки и даже самолёты в натуральную величину, построенные местными племенами из бамбука, дерева, листьев, лиан и других подручных материалов.

Разгадка таких странных конструкций вскоре была найдена. Всё дело в так называемых карго-культах. Во время Второй мировой войны американцы строили  на островах аэродромы для снабжения армии. На аэродромы завозили ценный груз: одежду, консервы, палатки и другие полезные вещи, часть из которых доставалась местным жителям в обмен на гостеприимство, услуги проводников и т.д. Когда война закончилась, и базы опустели, аборигены начали сами строить подобия аэродромов в мистической надежде, что  так они снова привлекут груз (англ. cargo – груз).

Разумеется, при всей похожести на реальные машины ни летать, ни принимать радиосигналы, ни доставлять груз бамбуковые самолёты не могли.

Просто «похожее» не означает «одно и то же».

Лад и тональность

Похожие, но не одинаковые явления встречаются и в музыке.

Например, до мажором называется и трезвучие и тональность. Как правило, из контекста можно понять, что имеется в виду. Кроме того аккорд до мажор и тональность до мажор тесно связаны между собой.

Есть пример позамысловатей. Тональность до мажор и ионийский лад от до. Если почитать учебники по гармонии, то в них подчеркивается, что это разные музыкальные системы, одна – тональная, другая – модальная. Но не совсем понятно, в чем же именно разница, кроме названия. Ведь по сути это те же самые 7 нот: до, ре, ми, фа, соль, ля, си.

Да и гаммы этих музыкальных систем звучат очень похоже, даже если для ионийского лада использовать пифагорейские ноты, а для мажора – натуральные:

Натуральный до мажор

Ионийский лад от до

В прошлой статье  мы подробно разобрали, что такое старинные лады, в том числе ионийский. Эти лады относятся к пифагорейской системе, то есть строятся только с помощью умножения на 2 (октава) и умножения на 3 (дуодецима). В пространстве кратностей (ПК) ионийский лад от до будет выглядеть так (рис. 1).

Рис. 1. Ионийский лад от ноты до.

 

Теперь попробуем разобраться с тем, что же такое тональность.

Первой и основной чертой тональности является, разумеется, тоника. Что же такое тоника? Казалось бы, ответ очевиден: тоника – это главная нота, некоторый центр, точка отсчета для всей системы.

Посмотрим на первый рисунок. Можно ли сказать, что в прямоугольнике ионийского лада нота до является главной? Согласимся, что нет. Мы построили этот прямоугольник от до, но с тем же успехом мы могли построить его, например, от фа, получился бы лидийский лад (рис. 2).

Рис. 2. Лидийский лад от ноты фа.

 

Другими словами, нота, от которой мы строили лад, поменялась, но вся гармоническая структура осталась той же. Более того эту структуру можно построить от любого звука внутри прямоугольника (рис. 3).

Рис. 3. Лады с одинаковой структурой.

Рис. 3. Лады с одинаковой структурой.

 

Каким же образом мы можем получить тонику? Как нам централизовать ноту, сделать ее главной?

В ладовой музыке «главенство» обычно достигается временными построениями. «Главная» нота звучит чаще, с нее начинается или на ней заканчивается произведение, она приходится на сильные доли.

Но есть и чисто гармонический способ «централизовать» ноту.

Если мы нарисуем перекрестье (рис. 4 слева), то у нас автоматически появляется центральная точка.

Рис. 4. «Централизация» ноты.

Рис. 4. «Централизация» ноты.

 

В гармонии используется тот же принцип, но вместо перекрестья используется только его часть – либо уголок, направленный вправо и вверх, либо уголок, направленный влево и вниз (рис. 4 справа). Такие уголки строятся в ПК и позволяют гармонически централизовать ноту. Названия этих уголков известно не только музыкантам – это мажор и минор (рис. 5).

Рис. 5. Мажор и минор в ПК.

Рис. 5. Мажор и минор в ПК.

 

Приложив такой уголок к любой ноте в ПК, мы получаем мажорное, либо минорное трезвучие. Обе эти конструкции «централизуют» ноту. Более того, они являются зеркальным отражением друг друга. Именно эти свойства закрепили мажор и минор в музыкальной практике.

Можно заметить одну необычную особенность: мажорное трезвучие называется по ноте, которая расположена непосредственно в перекрестье, а минорное по ноте, расположенной слева (выделено кружком на схеме на рис. 5). То есть созвучие c-es-g, центральным звуком в котором является g, называется до минор по ноте в левом луче. Для того чтобы математически точно ответить на вопрос, почему это так, нам пришлось бы прибегнуть к довольно сложным выкладкам, в частности, к расчету меры консонанса  аккорда. Вместо этого попробуем объяснить это схематично. В мажоре по обоим лучам – и по квинтовому и по терцовому – мы идем «вверх», в отличие от минора, где движение по обоим направлениям – «вниз». Таким образом, нижним звуком в мажорном аккорде оказывается центральный, а в миноре – левый. Поскольку аккорд традиционно называют по басу, то есть нижнему звуку, то и минору досталось название не по ноте в перекрестье, а по ноте в левом луче.

Но, подчеркнем, что важно здесь другое. Важна централизация, мы чувствуем эту структуру и в мажоре и в миноре.

Также заметим, что в отличие от старинных ладов, в тональности используется терцовая (вертикальная) ось, именно она позволяет «гармонически» централизовать ноту.

Но как бы ни были прекрасны эти аккорды, в них всего 3 ноты, а из 3 нот много не сочинишь. Из каких же соображений строится тональность? И опять мы будем рассматривать ее с точки зрения гармонии, то есть в ПК.

  • Во-первых, раз уж нам удалось централизовать ноту, не хотелось бы эту централизацию терять. Это означает, что желательно вокруг этой ноты достраивать что-то в каком-то смысле симметрично.
  • Во-вторых, мы для аккорда использовали уголки. Это принципиально новая структура, которой не было в пифагорейском строе. Неплохо было бы их повторить, чтобы слушатель понимал, что возникли они не случайно, что это очень важный для нас элемент.

Из этих двух соображений и вытекает способ построения тональности: нам нужно повторить выбранные уголки симметрично относительно «центральной» ноты, причем желательно это сделать максимально близко к ней (рис. 6).

Рис.6. Мажорная тональность в ПК.

Рис.6. Мажорная тональность в ПК.

 

Вот так выглядит повторение уголков в случае мажора. Центральный уголок называют тоникой, левый – субдоминантой, а правый – доминантой. Семь нот, используемые в этих уголках, дают гамму соответствующей тональности. А структура подчеркивает централизацию, которой мы добились в аккорде. Сравните рисунок 6 с рисунком 1 – вот наглядная иллюстрация того, чем тональность отличается от лада.

Вот так звучит мажорная гамма, с оборотом T-S-D-T в конце.

Минор будет строиться ровно по такому же принципу, только уголок будет с лучами не вверх, а вниз (рис. 7).

Рис.7. Минорная тональность в ПК.

Рис. 7. Минорная тональность в ПК.

 

Как видим, принцип построения ровно тот же, что и в мажоре: три уголка (субдоминанта, тоника и доминанта), расположенные симметрично относительно центрального.

Такую же структуру мы можем построить не от ноты до, а от любой другой. Получим мажорную или минорную тональность от нее.

Например, построим тональность си минор. Строим минорный уголок от си, а затем добавляем два уголка справа и слева, получаем вот такую картину (рис. 8).

Рис. 8. Тональность си-минор в ПК.

Рис. 8. Тональность си-минор в ПК.

 

На картинке сразу видно, какие ноты образуют в тональность, сколько в тональности знаков при ключе, какие ноты входят в тоническую группу, какие в доминантовую, какие в субдоминантовую.

Кстати, к вопросу о ключевых знаках альтерации. В ПК мы обозначили все ноты через диезы, но при желании, разумеется, их можно записать и как энгармонически равные с бемолями. Какие же знаки будут на самом деле в тональности?

Определить это можно довольно просто. Если нота без диеза уже входит в тональность, то использовать диез нельзя – записываем вместо него энгармоническую с бемолем.

Проще разобрать это на примерах. В трех уголках си минора (рис.8) ни нота c, ни нота f не присутствуют, следовательно, мы можем смело поставить при них ключевые знаки. В тональности таким образом у нас будут ноты cis и fis, а тональность будет диезной.

В до миноре (рис. 7) и нота g и нота d уже есть «в чистом виде», следовательно, использовать их ещё и с диезами не получится. Вывод: меняем в этом случае ноты с диезами на ноты с бемолями. Тональность до минор будет бемольной.

Виды мажора и минора

Музыканты знают, что кроме натурального встречаются ещё и особые виды мажора и минора: мелодический и гармонический. Часто довольно трудно запомнить, какие именно ступени повышать или понижать в таких тональностях.

Всё становится гораздо проще, если понять структуру этих тональностей, а для этого нарисуем их в ПК (рис. 9).

Рис. 9. Виды мажора и минора в ПК.

Рис. 9. Виды мажора и минора в ПК.

 

Чтобы построить эти виды мажора и минора мы просто меняем левый и правый уголок с мажорного на минорный или наоборот. То есть будет ли тональность мажорной или минорной определяется по центральному уголку, а вот крайние задают его вид.

В гармоническом мажоре левый уголок (субдоминанта) меняется на минорный. В гармоническом миноре правый уголок (доминанта) меняется на мажорный.

В мелодических тональностях оба уголка: и правый и левый – меняются на противоположные центральному.

Разумеется, все виды мажора и минора мы можем строить от любой ноты, их гармоническая структура, то есть то, как они выглядят в ПК, не изменится.

Внимательный читатель, наверно, задастся вопросом: можем ли мы построить тональности другими способами? Что если поменять форму уголков? Или их симметрию? Да и стоит ли ограничиваться лишь «симметричными» системами?

На эти вопросы мы ответим в следующей статье.

Автор –

Posted in Музыка и математика. Tagged with , , , .

Поделитесь с друзьями ссылкой на эту страницу:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *